Различные доказательства теоремы Пифагора

Теорема Пифагора Окунева Е.Л., учитель математики МБОУ «Новорождественская СОШ»

Формулировки теоремы У Евклида (дословный перевод): В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол. Латинский перевод : Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол. Перевод с немецкого (около 1400 г.) : Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу. В первом русском переводе евклидовых Начал“: В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол. Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим И таким простым путём К результату мы придём.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Простейшее доказательство Простейший случай - равнобедренный прямоугольный треугольник. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Доказательство Эйнштейна Преимуществом доказательства является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники.

Доказательство 9 века н.э. На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру индусы называли стулом невесты. Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа.

Доказательство, основанное на теории подобия. В прямоугольном треугольника АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD, тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику.

Луночки Гиппократа Опишем две полуокружности на катетах так, как указано на рисунке, тогда получатся две луночки. Площадь полукруга с диаметром С равна сумме площадей двух других полукругов, с диаметрами a и b. Если отнять незаштрихованные части, то сумма площадей луночек равна площади треугольника.

Метод достроения. К квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

Второй метод достроения Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах.

Доказательство Нассир-эд-Динома (1594 г.).

Доказательство Гофмана Четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, треугольники ADF и ACE равновелики, отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим теорему Пифагора

Доказательство Гарфилда Три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна 0,5(а+в)(а+в), во втором ав+0,5с². Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.

Алгебраическое доказательство индийского математика Бхаскари Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ!

Другие доказательства (около 500)