Теория вероятностей. Задачи повышенной сложности (Математика 11 класс)

Теория вероятностей. Задачи повышенного и высокого уровней сложности Математика 11 класс МБОУ СШ №12 Учитель: Шудраков Николай Николаевич

Несовместные события Два события А и В называются несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятные одновременно как событию А, так и событию В. ПРИМЕР: Бросают кубик. События «выпало число 3» и «выпало четное число» несовместны. При этом события «выпало число больше 3» и выпало четное число» совместны.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Объединение событий Пусть событие С означает, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Тогда событие С называют объединением (суммой) событий А и В. С = А U В

Вероятность несовместных событий Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий А и В. Р(А U В) = Р(А) + Р(В)

Независимые события Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события ПРИМЕР: Выполнили два подбрасывания монеты. События «при первом подбрасывании выпала решка» и «привтором подбрасывании выпал орел» независимы. В урне 2 белых и 2 черных шара. Событие «первый извлеченный шар белый» и «второй извлеченный шар черный - зависимые.

Пересечение событий Пусть событие С означает, что произошло как событие А, так и В. Тогда событие С называют пересечением (произведением) событий А и В. С = А ∩ В

Вероятность независимых событий Если события А и В независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий А и В. Р(А ∩ В) = Р(А) ∙ Р(В)

Частота события Частотой события А называют отношение m / n, где n – общее число испытаний, m – число появления события А. ПРИМЕР: Мы подбросили монету 100 раз, орел выпал 47 раз. Частота выполнения орла равна 47/100=0,47

Задачи об объединении несовместных событий 1. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Ромб», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Окружность», равна 0,15. Вопросов, относящихся одновременно к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Задачи об объединении несовместных событий 2. Вероятность, что новая кофемолка прослужит больше года , равна 0,93. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, равна 0,81. Найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года.

Задачи об объединении несовместных событий 3. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 25 пассажиров, равна 0,91. Вероятность того, что окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,39. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 18 до 25.

Задачи о пересечении независимых событий 1. Если гроссмейстер К. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Н. с вероятностью 0,45. Если К. играет черными, то он выигрывает с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры К. и Н. играют две шахматные партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что К. выиграет оба раза.

Задачи о пересечении независимых событий 2. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты (клиенты заходят независимо друг от друга).

Задачи о пересечении независимых событий 3. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,1 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Задачи о пересечении независимых событий 4. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние три – промахнулся. Результат округлите до сотых.

Задачи о пересечении независимых событий 5. Мышка заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и идти назад мышка не может, поэтому на каждом разветвлении мышка выбирает один из путей. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью мышка выйдет к выходу В.

Задачи об объединении пересечений событий 1. Ковбой Билл попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Билл стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,25. На столе лежат 5 револьверов, из них 2 пристрелянные. Ковбой Билл видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Билл попадет в муху.

Задачи об объединении пересечений событий 2. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,08. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Задачи об объединении пересечений событий 3. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стёкол, вторая 40%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стёкол, а вторая 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное стекло окажется бракованным.

Задачи об объединении пересечений событий 4. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятность выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.