- Учителю
- Методическое пособие по теме 'Сравнения. Диофантовы уравнения'
Методическое пособие по теме 'Сравнения. Диофантовы уравнения'
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
ГИМНАЗИЯ №16 города Тюмени
Заочная физико-математическая школа
Математическое отделение
Сравнения. Диофантовы уравнения
Задание №___ для 10 - 11-ых классов
Тюмень 2015
Д.И. Иванов, А.Ю. Куликов. Тема: Методические указания по теме «Сравнения. Диофантовы уравнения» разработаны для учеников 10 - 11-го класса.
В настоящих методических указаниях представлен теоретический материал по данной теме, приведены примеры типовых задач с подробными решениями, а также представлены задачи для самостоятельного решения, которые помогут проверить уровень понимания темы после изучения пособия.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В. Н. Кутрунов, д. ф.-м. н., профессор.
РЕЦЕНЗЕНТЫ: Т. Г. Латфуллин, д. ф.-м. н., профессор кафедры математического анализа и теории функций Тюменского государственного университета.
Н. В. Игнатовская, учитель математики МАОУ гимназии №16 г. Тюмени.
© ФБГОУ ВПО Тюменский государственный университет
© МАОУ гимназия №16 г. Тюмень
© Д.И. Иванов, А.Ю. Куликов, 2015
ГЛАВА 1. СРАВНЕНИЯ
-
Теоретический материал
Если целые числа a и b при делении на натуральное число m дают равные остатки, то эти числа сравнимы по модулю m.
(1)
Выражение (1) называется сравнением.
Свойства сравнений:
-
Разность a - b делится на m.
-
Если, то a делится нацело на m.
-
Если, то верно следующее сравнение , где
-
Если и , то .
-
Если и , то имеют место следующие сравнения
-
- сравнения можно складывать;
-
- сравнения можно вычитать;
-
- сравнения можно умножать.
-
Если , то имеет место сравнение .
-
Если , m ≠ 1, а числа k и m взаимно просты, то .
-
Примеры заданий по теме «Сравнения»
-
Задание 1. Решить сравнения:
Решение
-
Разрешим сравнение . По свойству 3 получим сравнение . Так как 4 и 7 взаимно просты, то по свойству 7 получим .
-
Разрешим сравнение . По свойству 3 получим сравнение . Так как 5 и 9 взаимно просты, то по свойству 7 получим .
-
Разрешим сравнение . По свойству 3 получим сравнение . Так как 7 и 13 взаимно просты, то по свойству 7 получим .
Ответ: a) ; b).; c)..
Задание 2. Доказать, что при любых натуральных значениях n
Доказательство:
-
Пусть. Тогда. Разрешим данное сравнение => => , значит .
-
Пусть . Тогда. Разрешим данное сравнение => => => , значит .
-
Пусть . Тогда. Разрешим данное сравнение => => => , значит .
Задание 3. Найти последнюю цифру числа
Решение
-
Заметим, что число для любого натурального n оканчивается на цифру 6, число оканчивается на цифру 2, число оканчивается на цифру 4 и число оканчивается на цифру 8. Число можно представить в виде . Значит, число оканчивается на цифру 4.
-
Чтобы найти последнюю цифру числа, нужно рассмотреть данное число по модулю 10. Так как => . => . Заметим, что число для любого натурального n оканчивается на цифру 1, число оканчивается на цифру 3, число оканчивается на цифру 9 и число оканчивается на цифру 7. Число можно представить в виде . Значит, число оканчивается на цифру 9.
-
Так как => произведение оканчивается на 0. Значит, число оканчивается на ту же цифру, что и . Число можно представить в виде . Значит, число оканчивается на цифру 4. Тогда оканчивается на цифру 8 оканчивается на цифру 8.
Ответ: a) 4; b)9; c)8.
Задание 4. Найти остаток от деления числа
-
;
-
-
Решение:
-
Так как => 4⦁
=> . Значит остаток от деления числа равен 4. -
Так как => . => . Значит остаток от деления числа равен 2.
-
Так как и => , т. е. . Значит остаток от деления числа равен 3.
Ответ: a) 4; b)2; c)3.
ГЛАВА 2. ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
2.1. Линейные диофантовы уравнения.
Общий вид линейного диофантова уравнения + , где - целые числа, а - неизвестные данного уравнения.
Рассмотрим линейные уравнения с двумя неизвестными, то есть рассмотрим уравнения вида
. (2.1)
Предположим, что a, b, c - целые числа и поставим задачу - найти целочисленные решения уравнения (1), то есть все пары чисел x и y такие, что уравнение (1) обращается в верное числовое равенство, или показать, что таких чисел нет.
Пусть a, b, c не имеют общего делителя, отличного от единицы. Если a, b, c имеют общий делитель, отличный от единицы, то разделим обе части уравнения (1) на этот общий делитель.
Пусть d - наибольший общий делитель чисел a и b. Возможны два случая . Рассмотрим оба случая.
Случай 1: . Пусть уравнение (1) имеет целочисленное решение. Тогда существуют целые числа x и y, которые обращают уравнения (1) в верное числовое равенство.
Так как, d - наибольший общий делитель чисел a и b, причём где m и n - целые числа, не имеющие общих натуральных делителей, отличных от единицы (m и n - взаимно просты числа).
Тогда равенство (1) примет вид
. (2.2)
По предложению числа a, b, c не имеют общего делителя, отличного от единицы. Но из равенства (2.2) следует, что c делится на d, где то есть a, b и c имеют общий делитель Получаем противоречие, значит уравнение (2.1) при не может иметь целочисленных решений.
Случай 2: . Пусть (α,β) - целочисленное решения уравнения (2.1), тогда является верным равенство
(2.3)
Если (x;y) - произвольное целочисленное решение уравнения (2.1), то равенство (2.1) является верным. Вычитая почленно из равенства (2.1) равенства (2.3), получаем
отсюда следует, что
. (2.4)
Число α - целое и, кроме того, a и b - взаимно простые числа. Поэтому число x, определяемое формулой (2.4), будет целым тогда и только тогда, когда β-y делится на a. Обозначим
(2.5)
Тогда t -целое число, и равенство (2.4) примет вид
, (2.6)
а из равенства (2.5) следует, что
. (2.7)
Таким образом, доказано, что если (α,β) - какое-либо целочисленное решения уравнения (2.1), то все решения этого уравнения задаются формулами (2.6 и 2.7), где .
Замечание. Если целочисленное решение уравнения , то является целочисленным решением уравнения (2.1), так как из верного равенства следует верное равенство
(2.8)
Это утверждение часто оказывается полезным при отыскании решения уравнения (2.1)
Задание 1. Решить диофантовы уравнения
-
;
-
;
-
;
Решение.
-
Перепишем уравнение в виде . Поскольку левая часть делится на 3, то и правая часть должна делиться на3. Рассмотрим три случая:
-
Если то не делится на 3.
-
Если то не делится на 3.
-
Если то делится на 3. Поэтому , т. е.
-
Заметим, что пара чисел ( -9; 13) - решение данного диофантового уравнения , где a = 36, b = 25. Тогда все решения этого уравнения задаются формулами (используем формулы 2.6 и 2.7) ; , где .
-
Используя решения пункта b) и замечания к данному пункту, получим
; , где .
2.2. Методы решения диофантовых уравнений второго порядка с двумя переменными.
Рассмотрим диофантово уравнение второго порядка с двумя переменными вида
(2.9)
где и хотя бы одно из чисел a, b, c отлично от нуля. Одним из методов является разложение на множители.
Рассмотрим примеры решения данных уравнений.
Задание 1. Найти все пары целых чисел (x,y), каждая из которых удовлетворяет уравнению .
Решение. Преобразуем данное уравнение к следующему виду
. Разложив левую часть как многочлен второй степени относительно y, получим . Чтобы решить уравнение, надо рассмотреть решение четырёх систем
-
- не имеет решений в целых числах
-
- не имеет решений в целых числах
-
- имеет решение (x,y) = (2,1)
-
- имеет решение (x,y) = (-2,-1)
Ответ: (-2,-1); (2,1).
Задание 2. Найти все пары натуральных чисел разной чётности, удовлетворяющие уравнению .
Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом
. Так как m и n - натуральные числа разной чётности, то число 144 надо представить в виде произведения чётного и нечётного множителя. Возможны следующие варианты:
-
- m = 13, n = 156
-
- m = 15, n = 60
-
- m = 21, n = 28
-
- n = 13, m = 156
-
- n = 15, m = 60
-
- n = 21, m = 28
Ответ: (m,n) : (13,156); (15,60); (21,28); (156,13); (60,15); (28,21).
ГЛАВА 3. Сборник заданий для самостоятельного решения
-
Решить сравнение .
-
Найти последнюю цифру числа
-
Найти остаток от деления числа .
-
Решить уравнение в целых числах .
-
Решите задачу. Во дворе обитают коровы и утки. На всех обитателей двора приходится 84 лапы. Сколько коров и сколько уток, если известно, что всего 27 голов во дворе
-
Докажите, что для любых
-
Найти все пары целых чисел (x,y), каждая из которых удовлетворяет уравнению .
-
Найти последнюю цифру числа
-
Найти остаток от деления числа
-
Решите задачу. В кармане у Гоши монеты номиналом 1 рубль, 2 рубля и 5 рублей. Известно, что общее количество монет - 18, а сумма всех монет составляет 74 рубля. Найдите количество монет каждого номинала, если известно, что количество монет номиналом 5 рублей столько же, сколько и утроенное количество монет номиналом 2 рубля вместе с количеством монет номиналом 1 рубль.
-
Решить уравнение в натуральных числах .
-
Разложить дробь на сумму двух дробей со знаменателями 3 и 7 соответственно.
-
Решите задачу. Красный карандаш стоит 17 рублей, синий - 13 рублей. Нужно купить карандаши, имея 495 рублей с условием, что число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять. Сколько синих и сколько красных карандашей куплено, если всего приобретено 32 карандаша.
-
Решите уравнение в целых числах .
-
Решить уравнение в целых числах .
Оглавление
Глава 1. Сравнения…………………………………………………..3
п. 1.1. Теоретический материал................................................................3
п. 1.2 .Примеры заданий по теме «Сравнения».......................................3
Глава 2. Диофантовы уравнения 6
п. 2.1. Линейные диофантовы уравнения 6
п. 2.2. Методы решения диофантовых уравнений второго порядка с двумя переменными. 9
Глава 3. Сборник заданий для самостоятельного решения…...11