Учителю
Материал по алгебре на тему 'Решение уравнений высших степеней' (10 класс)

Материал по алгебре на тему 'Решение уравнений высших степеней' (10 класс)

Автор публикации: Андрейченко А.В.

Дата публикации: 15.09.2015

Краткое описание:

предварительный просмотр материала

СОДЕРЖАНИЕ

1.Введение

2. История

Глава 1. Решение уравнений высших степеней методом разложения на множители.

Разложение на множители методом группировки.
Теорема Безу, теорема Виета и следствия из них, схема Горнера.

Глава 2. Уравнения высших степеней, решение которых приводится

к решению квадратных уравнений.

2.1. Биквадратные уравнения.

2.2. Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения.

2.3. Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению

квадратных уравнений путем выделения полного квадрата.

2.4. Возвратные уравнения.

2.5. Уравнения вида .

2.6. Уравнения вида .

Глава 3. Решение уравнений высших степеней методом введения новой переменной.

Глава 4. Нестандартные способы решения уравнений высших степеней.

Литература.

Цели и задачи:

Цель работы:

рассмотреть различные способы решения алгебраических уравнений;

проанализировать существующие способы решения уравнений высших

степеней.

Задачи работы:

изучить алгоритм решения алгебраических уравнений высших степеней, используя:

Общий способ,
Формулу Кардано,
Схему Горнера;

рассмотреть различные способы и методы решения уравнений высших степеней:

Разложение на множители. Способ группировки;
Замена переменной;
Метод деления на многочлен, содержащий переменную;

Метод выделения полного квадрата.

показать некоторые нетрадиционные способы решений уравнений

Глава 1. Решение уравнений высших степеней

методом разложения на множители.

Один из способов решения уравнения состоит в разложении многочлена на множители, что позволяет свести решение исходного уравнения к решению нескольких уравнений более низких степеней.

Разложение на множители методом группировки.

Решение уравнений высших степеней является трудной задачей, и нельзя указать универсального способа нахождения корней. Рассмотрим некоторые из них на примерах.

Пример 1. Решите уравнение (х +1)(х+2) + (х +2)(х+1) = 2

Решение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

;

; или ;

х = -1. D = 1 - 16 = -15, D < 0, значит квадратное уравнение

действительных корней не имеет.

Ответ: х = -1.

Пример 2. Решите уравнение

Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.

;

; или _;

х₁ = 2; х₂ = -2.

Ответ: х₁ = 2; х₂ = -2; .

Пример 3. Решите уравнение

Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.

;

2х - 1 = 0; х - 1 = 0; х + 1 = 0;

х₁ = 0,5. х₂ = 1. х ₃ = -1.

Ответ: х₁ = 0,5; х₂ = 1; х ₃ = -1.

Пример 4. Решите уравнение

Методом группировки левую часть уравнения разложим на множители.

;

; или ;

х₁ = ; Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю,

х₂ = -. следовательно, корни уравнения х₃ = 1; х₄ = 3.

Ответ: х₁ = ; х₂ = -; х₃ = 1; х₄ = 3.

Пример 5. Решите уравнение

Так как х = 1 не является корнем, поэтому домножим обе части уравнения на (х - 1). Получаем:

;

Тогда ;

;

; x = 0; х = 1 - не является корнем. Ответ: х = 0.

Пример 6. Решите уравнение

Так как х = 1 не является корнем, поэтому домножим обе части уравнения на (х - 1). Получаем:

(х - 1)∙ ∙ (х - 1);

;

Х₁ = 0; или

х ₂ = -1; х₃ = 1 - не является корнем.

Ответ: Х₁ = 0; х ₂ = -1.

Пример 7. Решите уравнение

Решение. Используя формулы сокращенного умножения

, представив левую часть уравнения в виде произведения, а правую часть перенести влево. Получим:

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

. Теорема Безу, теорема Виета и следствия из них, схема Горнера.

Для изучения уравнений высших степеней

(1)

первостепенное значение имеет теорема Безу и ее следствия.

Теорема Безу:

Остаток от деления многочлена относительно x на двучлен х - а равен значению этого многочлена при х , равном а.

Следствие:

1)Для того чтобы многочлен f(x) делился на х - а необходимо и достаточно, чтобы f(a) = 0.

2) Для того чтобы многочлен f(x) делился на х + а необходимо и достаточно, чтобы f(-a)=0.

3) Таким образом, если число - корень уравнения, то левую часть уравнения (1) можно записать в виде: , где многочлен степени n-1.

Как же найти корень ? Вспомним теорема Виета.

Теорема Виета:

Корни уравнения ,

с его коэффициентами связаны следующими соотношениями:

Таким образом, для того чтобы несократимая дробь была корнем уравнения с целыми коэффициентами _,

Необходимо и достаточно, чтобы p было делителем свободного члена

, а q - делителем коэффициента .

Если уравнение имеет целые коэффициенты и коэффициент при равен 1, то рациональными корнями могут быть только целыми числами.
Целые корни уравнения с целыми коэффициентами

являются делителями свободного члена. (Это свойство позволяет легко найти корни уравнения с целыми коэффициентами.)

Число 1 является корнем уравнения с целыми коэффициентами, если сумма всех коэффициентов равна нулю.
Число -1 является корнем уравнения с целыми коэффициентами, если суммы коэффициентов при слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с нечетными показателями степени.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Так как уравнение имеет целые коэффициенты и коэффициент при равен 1 , то целыми корнями могут быть только делители свободного члена, то есть 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6.

Число 1 является ли корнем уравнения, так как сумму коэффициентов: 1 - 6 +11 - 6 = 0. Тогда на основании теоремы Безу многочлен, стоящий в левой части уравнения делится на двучлен х - 1. Используя схему Горнера разделим левую часть на х - 1:

-6

-5

Квадратный трехчлен легко разложит на множители, используя теорему Виета: корни

Таким образом, левую часть уравнения мы разложили на множители:

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение .

Решение. Делителями числа 18 будут числа 1, 2, 3, 6, 9, а делителями числа 3 - числа 1 и 3. Среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 3 - 4 + 5 - 18 ≠ 0.

Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 3 + 5 ≠ -4 - 18.

По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.

-4

-18

Используя следствие из теоремы Безу, запишем уравнение в виде:.

Уравнение корней не имеет, так как D = 4 - 108 = -104, D<0.

Ответ : х = 2

Пример 3. Решите уравнение .

Решение . Делителями числа 3 будут числа 1, 3, а делителями числа 8 - числа 1 ,2, 4, 8. Среди чисел ±1, ±.

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 8 - 13 + 6 - 1 + 3 ≠ 0.

Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 8 - 13 + 3 ≠ 6 - 1.

По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.

-13

-1

-4+6=2

-1-13=-14

7-1=6

-3+3=0

Число -0,5 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

Найдем корни уравнения ,

среди чисел ±1, ±2, ±3,±6,

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма 8 - 14 + 6 +2 ≠ 0.

Число -1 не является корнем уравнения , так как сумма 8 - 14 ≠ 6 + 2.

По схеме Горнера найдем среди этих чисел корень уравнения.

-14

6+2=8

6-14=-8

-6+6=0

Число является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений: 1) 2) 3)

Ответ :

Пример 4. Решите уравнение

Решение. Среди делителей числа 3 - ±1, ±3 будем искать корни уравнения. Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма

1+ 4 +6 + 3 ≠ 0. Число -1 является корнем уравнения , так как сумма

6 + 1 = 4 + 3. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х + 1.

-1

-1 + 4 =3

-3 +6 = 3

-3 + 3 = 0

Число -1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

и 2)

Ответ: х₁ = -1.

Пример 5. Решите уравнение .

Решение. Среди чисел ±1, ±2, ±5, ± найдем корень уравнения .

Число 1 является корнем уравнения, так как сумма

2 - 1 - 9 + 13 - 5 = 0. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х - 1.

-1

-9

-5

-8

Число 1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

Найдем корни уравнения среди чисел ±1, ±5,

Число 1 является корнем уравнения, так как сумма

2 + 1 - 8 + 5 = 0. По схеме Горнера найдем частное от деления левой части уравнения на двучлен х - 1.

-8

-5

Число 1 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде: . Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

2)так как сумма коэффициентов равна

нулю.

Ответ:

Пример 6. Решите уравнения .

Решение. Корни уравнения будем искать среди делителей числа -120.

Число 1 не является корнем уравнения, так как сумма

1 - 4 - 19 + 106 - 120 ≠ 0. Число -1 является корнем уравнения , так как сумма 1 - 19 - 120 ≠ - 4 + 106.

По схеме Горнера найдем корни уравнения.

-4

-19

106

-120

-2

-4-19=-23

-46+106=60

120-120=0

Число 2 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

Найдем корни уравнения среди делителей числа 60.

По схеме Горнера найдем корни уравнения.

-2

-23

8-23=-15

-60+60=0

Число 4 является корнем уравнения, используя следствие из теоремы Безу исходное уравнение можно записать в виде:

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

2) 3)

Ответ:

Глава 2. Уравнения высших степеней, решение которых приводится к решению квадратных уравнений.

Рассмотрим частные случаи, в которых решение уравнений высших степеней приводится к решению квадратных уравнений.

2.1 Биквадратные уравнения;

2.2. Сравнения, содержащие взаимно обратные выражения;

2.3. Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению квадратных уравнений путем выделения полного квадрата.

Уравнения четвертой степени, решение которых приводится к решению квадратных уравнений путем выделения полного квадрата, рассмотрим на следующих примерах.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. В левой части уравнения выделим полный квадрат; получим

или

Обозначим ; тогда уравнение примет вид , так как сумма коэффициентов равна нулю, то и Так как , то

или

D=b - 4ac; D=9 + 4 = 13. D=b - 4ac; D= 9 + 12 = 21.

Ответ: ; .

Пример 2. Решите уравнение .

Решение. В левой части уравнения выделим полный квадрат; получим

или

Раскладывая левую часть уравнения на множители, как разность квадратов, получаем

Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

D=b - 4ac;

D=1 - 4 = -3 - уравнение действительных корней не имеет,

и уравнение

D=b - 4ac; D=9 + 4 = 13 - два действительных корня,

;

Ответ: ;

2.4. Возвратные уравнения.

Целое алгебраическое уравнение

называется возвратным, если совпадают коэффициенты при слагаемых, сумма степеней которых равна степени многочлена, т.е. ….

Алгебраическое уравнение четвертой степени вида ,

е ≠ 0, называется возвратным, если коэффициенты связаны равенствами - некоторое число.

Легко показать, что если - корень возвратного уравнения, то и - также корень этого уравнения.

Для решения этих уравнений используют метод замены переменной

или .

Пример 1. Решите уравнение

Решение. Разделив обе части уравнения на х≠ 0, получим

, или

Обозначим , тогда или , тогда уравнение примет вид , или

D=b - 4ac; D=9 + 160 = 169 - два действительных корня

, .

Так как , получим два уравнения.

Умножим уравнение на 2х , получим квадратные уравнения

D=b - 4ac; D = (-5) - 16 = 9 - два действительных корня.

; .

Умножим уравнение на х , получим уравнение

k = b : 2 , k=2

D₁ = k - ac; D₁ = 2 - 1 = 3 - два действительных корня

, .

Ответ: , х₂ = 0,5, , .

Пример 2. Решите уравнение

Решение. Сгруппируем слагаемые:

Сделаем подстановку , тогда . Отсюда .

В результате приходим к уравнению:

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

и 2)

Ответ:

Пример 3. Решите уравнение

Решение. Обозначим , тогда , тогда . Запишем исходное уравнение в новых обозначениях

- по теореме Виета.

Так как , то получим 2 уравнения:

Ответ:

Пример 4. Решите уравнение

Решение. Обозначим , тогда , тогда . Запишем исходное уравнение в новых обозначениях

- по теореме Виета.

Так как , то получим 2 уравнения:

Ответ:

2.5. Решение уравнений вида

Решение уравнений вида ( ) приводится к решению квадратного уравнения делением на х _{(как возвратного), если}

. Поэтому такое уравнение иногда называют возвратным.

Пример. Решите уравнение .

Решение. Так как условие выполняется, т.е. или 25 = 25,

то обе части уравнения делим на х_{; получим}

_{, или}

_{Обозначим} _{; тогда} _{, тогда уравнение примет вид}

_или

D=b - 4ac; D = (-21) - 432 = 441- 432 = 9 - два действительных корня.

_, _.

_{Так как} _{получим два уравнения:}

_{по теореме Виета 2)}

_Ответ: _; _; _;

2.6. Решение уравнения вида .

Уравнения вида приводится к биквадратному уравнению заменой

заменим

Вычитая, получим или , тогда

Или

_{Относительно} _t _{уравнение примет вид:}

_{или, после упрощений,} _.

_{Заметим, что решение будет аналогичным, если степень двучленов будет и другой. В работе рассмотрены примеры с показателем степени 3; 4; 5.}

Пример 1. Решите уравнение (7 - х) + (9 - х) = 16.

Решение. Введем новую переменную у = 8 - х_.

После замены выражения х на 8 - у , исходное уравнение приводим к виду

(у - 1) + (у + 1) = 16.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

;

Пусть , тогда получим квадратное уравнение .

Сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю,

значит t₁ = 1; t₂ = -7.

= 1; или = -7 - данное уравнение корней не имеет.

y₁ = 1; y₂ = -1.

Так как у = 8 - х, то 8 - х= 1; или 8 - х= -1;

х = 7; х= 9;

х₁ = ; х₂ = - . х₃ = 3; х₄ = -3.

Ответ: х₁ = ; х₂ = - ; х₃ = 3; х₄ = -3.

Пример 2. Решите уравнение (х +3) - (х +1) = 56 .

Решение. Введем новую переменную у = х +2.

После замены переменной х на выражение у - 2 , исходное уравнение приводим к виду (у +1) - (у - 1) = 56. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

;

2 ∙ (;

2 ∙ (3;

;

; y₁ = 3; y₂ = -3.

Так как у = х +2 , то х +2 =3; или х +2 = -3;

х₁ = 1 ; х₂ = -5. Ответ: х₁ = 1 ; х₂ = -5.

Пример 3. Решите уравнение

Решение. Введем новую переменную у = х + 1. После замены переменной х на выражение у - 1 , исходное уравнение приводим к виду

(у - 2) + (у + 2) = 242 ∙ у Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

;

у = 0; или - это биквадратное уравнение.

Пусть t = , тогда получим квадратное уравнение

, сумма коэффициентов этого уравнения

равна нулю, следовательно ; .

Так как t = , то = 1; или = - 41

y₁ = 1; y₂ = -1. Уравнение корней не имеет.

Так как у = х + 1, то х + 1 = 1; х + 1 = -1; х + 1 = 0;

х₁ = 0. х₂ = -2. х₃ = -1.

Ответ: х₁ = 0; х₂ = -2; х₃ = -1.

2.7. Решение уравнения вида .

Уравнение вида приводится к решению квадратного уравнения, если a + b = c + d или a + c = b + d или

a + d = b + c.

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Раскроем скобки, группируя их следующим образом, получим

Сделаем замену у = . Тогда получаем:

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

=41 и = - 41

По теореме Виета: D=25 - 184 = -159, D < 0

уравнение действительных корней не имеет.

Ответ : х₁ =-9; х₂ = 4.

Пример 2. Решите уравнение

Решение. С группируем скобки следующим образом:

раскроем скобки и приведем подобные слагаемые

Сделаем замену . Тогда получим:

или

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Ответ:

Пример 3. Решите уравнение

Решение. Сгруппируем множители следующим образом:

Обозначим . Тогда получим :

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

и 2)

Ответ:

Пример 4. Решите уравнение

Решение. Так как 2 + 1 =-3 + 6, то можно сгруппировать множители левой части уравнения так: ,

или

Обозначим, тогда относительно получим:

По теореме Виета.

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

По теореме Виета. 2)

Ответ:

Глава 3. Решение уравнений методом замены неизвестного.

Решение многих уравнений заключается в сведении их к уравнениям видов рассмотренных в главе 2, способом введения вспомогательной неизвестной.

Пример 1. Решите уравнение

Решение. Введем новую переменную , получим:

или разделив на ,

Решением данного уравнения является число -1, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степеней равна сумме коэффициентов слагаемых с нечетными показателями степеней. (2+1=3)

Используя схему Горнера , получим:

-1

-2

Левую часть уравнения можно разложить на множители:

данное уравнение действительных корней не имеет.

у + 2 = 0,

у = -2.

Ответ: у = - 2.

Пример2. Решите уравнение

Введем новую переменную , тогда уравнение примет вид: Пусть , получим уравнение:

Сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, значит

t₁ = 1, t₂ =32. Таким образом: или

Так как , получим два уравнения: или

Ответ: х₁ = 1; х₂ =4.

Пример 3. Решите уравнение

Решение. Введем новую переменную , тогда уравнение примет вид:

По теореме Виета:

Так как , то получим два уравнения:

Ответ: х₁ =-3; х₂ = -2; х₃ =1; х₄ =2.

Глава 4. Нестандартные способы решения уравнений высших

степеней.

Пример 1. Найдите действительные корни уравнения

Решение. Поскольку в левой части уравнения стоит выражение все слагаемые, которого неотрицательные, а по условию их сумма равна нулю, то это возможно лишь при условии, что каждое слагаемое равно нулю: или

Ответ: х = 1,8.

Пример 2. Решите уравнение .

Рассмотрим два способа решения данного уравнения . Решение. 1 способ. Заметим, что х = 1 не является корнем данного уравнение, поэтому разделим левую и правую части уравнения на выражение (х - 1), получим

, так как

Далее заменим и уравнение примет вид . Сумма коэффициентов данного уравнения равна нулю ( 1 - 5 + 4 = 0), значит корни уравнения ;

Так как , то получим два уравнения:

D < 0 - данное уравнение х = 2.

корней не имеет. Ответ: х = 2.

2 способ. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим уравнение четвертой степени:

1. Используя схему Горнера, находим, среди делителей свободного члена

±1; ≠2; ± 4, целые корни уравнения.

Заметим, что сумма коэффициентов не равна нулю, то х=1 не является корнем уравнения. (1 - 5 + 9 - 8 + 4 ≠ 0)

Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени.

(1+ 9 +4≠ - 5 - 8). Составим таблицу:

- 5

- 8

- 3

- 2

Из таблицы видно, что х = 2 корень уравнения, и уравнение можно записать в виде: .

Решим уравнение

Используя схему Горнера, находим, среди делителей свободного члена

±1; ≠2, целые корни уравнения.

Заметим, что сумма коэффициентов не равна нулю, то х=1 не является корнем уравнения. (1 - 3 + 3 - 2 ≠ 0)

(1+ 3 ≠ - 3 - 2). Составим таблицу:

-3

-2

- 1

Из таблицы видно, что х = 2 корень уравнения, и уравнение можно записать в виде: .

Таким образом, левую часть уравнения

можно разложить на множители следующим образом: Произведение двух действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

данное уравнение

действительных корней не имеет.

Ответ: х = 2.

Я привела два способа решения уравнения ,

чтобы показать, насколько первый способ проще и необходимость поиска рациональных способов решения.

Пример 3. Решим уравнение .

Решение. Заметим, что х = 1 не является корнем данного уравнение, поэтому умножим левую и правую части уравнения на выражение (х - 1), получим,

Так как х≠1, то уравнение имеет один корень х = 0.

Ответ: х = 0.

Пример 4. Решите уравнение .

Решение. Запишем уравнение в виде

или

откуда

Решим два уравнения:

1) 2)

D= 6 - 4(3 + )= - 6 - 4 D = 6 - 4 (3 - )= - 6 + 4

D < 0, действительных корней нет.

Ответ: .

Пример 5. Решите уравнение

Решение. Заметим, что х = -1 не является корнем данного уравнение, поэтому умножим левую и правую части уравнения на выражение (х +1), получим:

или

Пусть , ,

Сумма чисел равна 4, а произведение 3 - это числа 1 и 3. Проверим:

х₁ = 1, получим и

х ₂= 3, получим и

Ответ: х₁ = 1, х ₂= 3.

2 способ: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим:

Сумма коэффициентов многочлена стоящего в левой части уравнения равна нулю (1 - 7 + 19 - 25 +12 = 0), значит х =1 корень уравнения.

По теореме Безу многочлен делится на х - 1. Выполним деление и получим:

: (х - 1) =.

Найдем корни уравнения =0 среди делителей свободного члена, ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12.

Сумма коэффициентов 1 - 6 + 13 - 12 ≠ 0, значит, число 1 не является корнем уравнения.

Так же число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени (1 + 13 ≠ -6 - 12)

Составим таблицу и проверим по схеме Горнера:

-6

-12

-4

-2

-3

Число 3 является корнем уравнения, значит, многочлен делится на х - 3. Запишем многочлен в виде :

= (х - 3)( .

Учитывая предыдущие рассуждения, запишем уравнение в виде

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем три уравнения: х - 1 = 0, или х - 3 = 0, или ,

х₁ =1. х₂ = 3. D = 9 - 16 = -7

D < 0 , корней нет.

Ответ: х₁ =1, х₂ = 3.

Пример 6. Решите уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения на 4, получим:

;

Произведение действительных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Из последнего уравнения получаем два уравнения:

или

Ответ: ; ; ; .

Пример 7. Решите уравнение

Решение. Используя, равенство преобразуем уравнение.

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

D=1 - 4= -3, D < 0, действительных корней нет.

Ответ:

Пример 8. Решите уравнение

Решение. Сумма коэффициентов не равна нулю 1 - 1 + 1 - 1+1 ≠0, число 1 не является корнем уравнения. Число -1 так же не является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени не равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени

(1 + 1 + 1 ≠ - 1 - 1)

Умножим обе части уравнения на (х + 1), получим:

Уравнение , является следствием исходного уравнения , имеет единственный корень х = -1, который не является корнем исходного, значит, уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 9. Решите уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде

Поскольку для любого х имеем и , то данное уравнение равносильно уравнению Решением этого уравнения х =-1, а следовательно и решение исходного.

Ответ: х = -1

2 способ. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Число -1 является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени (2 + 2 - 9 + 7 = 4 - 8 + 6)

По теореме Безу многочлен, стоящий в левой части уравнения делится на

(х + 1). Выполним деление по схеме Горнера:

-8

-9

-1

-8

-1

Рассмотрим уравнение

Так как сумма коэффициентов уравнения не равна нулю, то число 1 не является корнем уравнения, число -1 является корнем, так как сумма коэффициентов слагаемых с четными показателями степени равна сумме коэффициентов слагаемых с не четными показателями степени

(2 - 1 = 2 - 8 + 7). Выполним деление по схеме Горнера:

-8

-1

-8

=0,

Рассмотрим уравнение .

Среди чисел ±7 , ±1, нет корней уравнения , значит корнем уравнения является только число -1.

Ответ: х = -1.

Литература

Э.Н. Балаян «750 лучших олимпиадных и занимательных задач

по математике» Ростов-на-Дону «Феникс», 2014

«Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы» под редакцией М.И.Сканави, М. «Высшая школа», 1982.
Довбыш Р.И., Потемкина Л.Л., Трегуб Н.Л., Лиманский В.В., Оридорога Л.Л., Кулеско Н.А. «Сборник материалов математических олимпиад: 906 самых интересных задач и примеров с решениями» , Донецк: ООО ПКФ «БАО», 2002.
А.М. Назаренко, Л.Д. Назаренко «Тысяча и один пример. Равенства и неравенства», Сумы «Слобожанщина», 1994.
Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко «Алгебра и элементарные функции» , Х. «Полиграфкнига», 1975.

⇧

⇩